ncert calss 12 math CHAPTER 1

 1. निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधोें में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैंः

(i)समुच्चय A = {1, 2, 3, ..., 13, 14} में संबंध इस प्रकार परिभाषित है कि 

                                      R = {(x, y) : 3x – y = 0} 

(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4}  द्वारा परिभाषित संबंध R.

(iii) समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में  R = {(x, y) : y भाज्य है x से } द्वारा परिभाषित संबंध R है 

(iv)समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x, y) : x – y  एक पूर्णांक है } द्वारा परिभाषित संबंध R.

(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R

 (a) R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।} 

(b) R = {(x, y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं } 

(c) R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है }

 (d) R = {(x, y) : x, y की पत्नी है }

 (e) R = {(x, y) : x, y के पिता है } 


2.सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a, b) : a ≤ b²}द्वारा परिभाषित संबध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।

3. जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6}में R = {(a, b) : b = a + 1} द्वारा परिभाषित संबध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।

4. सिद्ध कीजिए कि R में R = {(a, b) : a ≤ b}, द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

5. जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a, b) : a ≤ b³}द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?

6. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3}में R = {(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।

7. सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्कालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R = {(x, y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है }द्वारा पदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है।

8. सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R {(a, b) : |a – b| सम है } द्वारा पदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि{1, 3, 5} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4}के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।

9. सिद्ध किजिए कि समुच्चय A  = {x ∈ Z : 0 ≤x ≤ 12}, में दिये गए निम्नलिखित संबंधों Rमें से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध हैः

(i) R = {(a, b) : |a – b|, 4 का एक गुणज है},

(ii)  R = {(a, b) : a = b},

प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।

10. ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो

(i) सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।

(ii) संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।

(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।

(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।

(v) स्ममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।

11. सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, R = {(P, Q) : बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी, बिंदू Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है }द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध हैं पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु  P ≠ (0, 0) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।

12. सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R  = {(T₁ , T₂ ) : T₁, T₂ के समरूप है } द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं 3, 4, 5,  वाले समकोण त्रिभुज T₁, भुजाओं 5, 12, 13, वाले समकोण त्रिभुज T₂ तथा भुजाओं 6, 8, 10, वाले समकोण त्रिभुज T₃ पर विचार कीजिए। T₁,T₂ और T₃ में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?

13. सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = {(P₁ , P₂) : P₁ तथा  P₂ की भुजाओं की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4,और 5 लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

14. मान लीजिए कि XY-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R  = {(L₁ , L₂ ) : L₁समान्तर है L₂ के } द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा  y = 2x + 4 से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

15. मान लीजिए कि समुच्चय  {1, 2, 3, 4}में, R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4,4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)}द्वारा परिभाषित संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए।

(A) R स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है।

(B) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

(C) R स्ममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतुल्य नहीं है।

(D) R एक तुल्यता संबंध है।

16. मान लीजिए कि समुच्चय N में, R = {(a, b) : a = b – 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त संबंध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिएः

(A) (2, 4) ∈ R      (B) (3, 8) ∈ R         (C) (6, 8) ∈ R       (D) (8, 7) ∈ R



1. सिद्ध कीजिए कि f(x) = 1/x द्वारा परिभाषित फलन f: R→R एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत R ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?

2. निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिएः

(i)  f(x) x² द्वारा प्रदत्त f: N→N फलन है।

(ii) f(x) x² द्वारा प्रदत्त f :   Z→ Z फलन है।

(iii) F(x) = x² द्वारा प्रदत्त f: R→ R फलन है।

(iv) f(x) x³ द्वारा प्रदत्त f: N→ N फलन है।

(V) f(x) x³  द्वारा प्रदत्त f: Z→ Z फलन है।

3. सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन f: R→ R न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x],x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।

4. सिद्ध कीजिए कि f(x) =  | x | द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f: R→ R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ  | x | बराबर x,यदि x धन या शून्य है तथा  | x | बराबर -x, यदि x ऋण है।

5. सिद्ध कीजिए कि f: R→ R

f(x) = {(1, यदि x > 0)  (0, यदि x = 0)   (-1, यदि x < 0)

द्वारा प्रदत्त चिह्न फलन  न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

6. मान लीजिए कि A = {1,2,3,}, B = {4,5,6,7 }तथा f = {(1,4), (2,5), (3,6) }Aसे B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।

7. निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

(i) f(x) = 3 - 4x द्वारा परिभाषित फलन f: R→ R है।

(ii) f(x) = 1+ x² द्वारा परिभाषित फलन f: R→ R है।

8. मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A⨯ B →  B⨯A, इस प्रकार कि f(a,b) = (b,a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।

9. मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए, f(n) = { (n+1/2, यदि विषम है (n/2, यदि सम है) 

द्वारा परिभाषित एक फलन f: N→ N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर को औचित्य भी बतलाइए।

10. मान लीजिए कि A=B - {3} तथा B = R - {1}हैं। f(x) =  (x-2)/(x-3) द्वारा परिभाषित फलन f: A→B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

11. मान लीजिए कि f: R→R, f(x) = x⁴ द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।

(A) f एकैकी आच्छादक है                      (B) f बहुएक आच्छादक है

(C) f एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है    (D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

12. मान लीजिए कि f(x) =3x द्वारा परिभाषित फलन f: R→R है। सही उत्तर चुनिएः

(A) f एकैकी आच्छादक है  (B) f बहुएक आच्छादक है

(C) f एकैकी है परंतु आच्छादक नहीं है  (D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है



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